La selle de cheval.

...Imaginons que nous ayions fabriqué un bout de surface à densité de courbure négative constante (on dira à courbure négative constante). On peut prendre un point quelconque, un clou, une ficelle, et tracer un contour circulaire en obtenant ce qu'on appelle une selle de cheval (surface à courbure négative constante).

Le négacône émoussé.

 ...Plus haut, nous avions fabriqué un cône émoussé (un "posicône émoussé") en partant d'une calotte sphérique et en la bordant avec un tronc de cône. Nous avions même trouvé comment nous y prendre pour qu'il n'y ait pas discontinuité du plan tangent. Il fallait que l'angle qui avait servi à fabriquer le cône d'où ce tronc de posicône était extrait soit égal à la quantité de courbure angulaire contenue dans la calotte sphérique.

...Il y a un moyen de mesurer la quantité de courbure angulaire (négative) contenue dans une selle de cheval, en comparant le périmètre et le rayon, opération qui s'effectue assez rarement dans les selleries. Supposons que nous la connaissions. Nous pouvons fabriquer le tronc de négacône en conséquence.

NB : Le négacône est, comme le cône, une surface développable. Cela veut dire qu'on peut "l'appliquer" sur un plan. Mais l'opération semble plus délicate. On voit mal comment on pourrait aisément faire rouler un négacône sur un plan rigide.

...Plutôt qu'une opération de roulement, il est préférable d'envisager une opération d'application, ou de manière plus parlante d'impression. Que veut dire imprimer ? C'est appliquer une surface porteuse de reliefs encrés, sur une autre surface.

...A l'époque de Gutemberg, on plaquait un plan sur un autre plan. Lorsqu'on imprime un motif sur un tissu, on roule dessus un cylindre. On fait défiler un ruban de papier entre deux cylindres, sur une rotative, et on imprime sur le support le motif en relief porté par l'un d'eux.

...Finalement, peu importe la façon dont on s'y prend pour plaquer la feuille sur la matrice, du moment que celle-ci est une surface développable. Au lieu de faire rouler un cône sur un plan rigide, on pourrait tout aussi bien plaquer le papier sur le cône, à la main, de proche en proche, en évitant de glisser. Si on portait sur le cône des signes en relief, et que ceux-ci, encrés, s'impriment sur la feuille, on obtiendrait en fin d'opération ceci

...On pourrait procéder de la même façon en plaquant une feuille de papier, objet souple, sur un négacône porteur de reliefs encrés. On obtiendrait alors ceci (en ayant reproduit sur la feuille tous les motifs).

Simple jeu pour illustrer le fait que le négacône est bien une surface développable.

Sur un tel objet, comme sur le posicône émoussé, nous pouvons tracer des géodésiques, puis les projeter sur un plan.

...La projection plane nous indique comment nous percevrions les trajectoires selon notre vision euclidienne du monde. L'objet équivalent à notre selle de cheval produirait des trajectoires dont la forme évoquerait une force gravitationnelle répulsive .

...On se propose d'appeler cette bizarre surface un "négacône émoussé". Ca n'est qu'un mot, mais il faut bien en trouver un. On avait vu plus haut qu'on pouvait passer continûment du cône (posicône) émoussé au cône pointu, l'opération inverse consistant à émousser l'objet.

...Même chose pour le passage en continu du négacône émoussé" au négacône porteur d'un point de courbure (négative) concentrée. .