Pour étendre un peu le problème je pourrais aussi bien considérer que ces trajectoires sont ... n'importe comment :

(205)

A chacune de ces particules de masse m, animée d'une vitesse différente, un point figuratif dans l'espace des moments. Mais ces particules ont quelque chose en commun. Elles ont toutes la même masse m ( et le même spin, etc....) .

Il existe donc une action de groupe qui permet de passer d'une de ces mouvements M1 à un mouvement M2. C'est une action coadjointe, "pilotée" par le groupe.

  (206)

Dans mes deux figures précédentes j'ai indiqué un objet schématisé par une plus grosse boule, animée d'un mouvement. La taille de la boule évoque le fait qu'il s'agit du mouvement d'une particule qui n'a pas la même masse. Mais

Cet objet mathématique, appelé mouvement, appartient à l'espace des mouvements. Donc il a son image dans l'espace des moments J.

Mais cette particule de masse m > m n'est pas de même espèce que les autres . Il n'existe pas d'action de groupe permettant d'identifier une particule de masse m et une particule de masse m

(on est ici dans le groupe dynamique de Bargmann) puisque l'action coadjointe donne :

Dans l'espace (x,y,z,t) les particules points-masses sont n'importe où dans l'espace temps. En un point (x,y,z) pourrait se trouver, au temps t, une particule quelconque, de masse quelconque, de charge quelconque. On ne peut donc pas utiliser cet espace pour classer les particules en espèces, les ranger dans des sortes de "boites".

Un physicien imaginerait peut être de classer "des particules au repos", correspondant à un spectre d'énergie Eo , E1 , E1, etc....

Si on les classe "dynamiquement" on classera non les énergies, mais les mouvements .

L'objet à analyser est l'ensemble des mouvements de toutes les particules gérées par le groupe. On se sert alors de l'action coadjointe comme instrument d'analyse, comme crible.

Changeons de dessin :

Si on se donne un élément g d'un groupe G il va engendrer une action coadjointe qui va déterminer la modification du moment. Schématiquement :

(207)

 
Le groupe permet de changer de mouvement. On passe d'un point figuratif J1 à un point figuratif J2 , dans cet espace des mouvements. Dans "l'espace physique" on change de mouvement.

- soit "c'est tout déroulé"

- soit c'est un point de l'espace des moments.